已知函数f(x)=(x^3)/3+(ax^2)/2+bx在区间[-1,1),(1,3]内各有一个极值点,当a^2-4b=8时,设函数y=f(x)在点A
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/02 22:49:42
已知函数f(x)=(x^3)/3+(ax^2)/2+bx在区间[-1,1),(1,3]内各有一个极值点,当a^2-4b=8时,设函数y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线为l,若l在点A处穿过函数y=f(x)的图像,求f(x)的表达式(即当动点在A附近沿曲线y=f(x)运动,经过点A时,从l的一侧进入另一侧)
首先,先不看第一个条件,只看第二个,我们可以由题意求出f(x)的导数为x^2+ax+b,所以点(1,f(1))处的切线斜率为1+a+b
接着,我们可以将f(x)在(1,f(1))处的切线方程写出来,g(x)=f(1)+(1+a+b)(x-1)
根据题意,我们可以得到g(x)与f(x)的差在x>1和x<1时异号
则可以写出函数F(x)=f(x)-[f(1)+(1+a+b)(x-1)]
将所有的f(x)表示出来,并进行整理,可得到
F(x)=(x-1)^2[(x+2)/3+a/2],这中间的整理比较复杂,需要仔细做
由于(x-1)^2在x≠1时总大于0,因此可得:
当x>1时,(x+2)/3+a/2>0,当x<1,(x+2)/3+a/2<0
或当x<1时,(x+2)/3+a/2>0,当x>1,(x+2)/3+a/2<0
不论是上述哪种情况,我们都可以得到当x=1时,(x+2)/3+a/2=0
所以1+a/2=0
所以a=-2
由a^2-4b=8可得b=-1
则f(x)=x^3/3-x^2-x
此时,我们可以用第一个条件进行检验:
f(x)的导数可得为x^2-2x-1
当该方程为0时,可以得出原函数的两个极值点
此时,两个零点分别为1加根号2和1减根号2,符合条件1
因此,综上,可得f(x)=x^3/3-x^2-x
本题还可以用二阶导数求解,更简单。
对f(x)求导得x^2+ax+b=0 把x=1代入得a+b=-1
联立a^2-4b=8得方程组,,在解除a 和b
供参考吧,,
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